ノート:0.999...が1に等しいことの証明
小数（という実数の表記）の定義を無限級数の和として（形式的に）定義する限り、「0.999...が1に等しいこと」はほぼアタリマエです。（等比級数の和ですから、数列の極限として定義から直接的に導くこともそれほど難しくはありません。まあ、何を前提とするかの問題はありますが。）つまり、数列の極限概念がある程度確立していれば、誤解の余地はないわけです。
従って2/5時点の記述のうち、最初の証明以外は、極限の概念が確立していない状況でこの事実をさまざまな観点で納得する（または納得させる）ための手段としては有効と思いますが、証明といってしまうと問題があるように思います。
一方で、なぜ 0.999... < 1 と思いがちなのか、ひとつ思うこと。
小数間の比較は、各桁の比較で行う（途中の桁で異なるところがあれば、等しくないと判断する）ようにトレーニングされ、その方法が正しいという直感を持つようになります。ところが、実数の（無限）小数表記を実は小学校から高等学校に至るまで、きちんと定義されることはありません。有限小数や循環小数のあたりまでは割り算の筆算などを通じて何となく納得し、数直線等を仲介して実数概念までもっていっている、というのが実態なのかな、と思います。
「0.999...が1に等しいこと」は、この小数間の比較の方式に反している（言い方を変えれば、きちんと定義すると実数の小数表記は必ずしも一意的ではない）わけで、ヘンに思うことがあるのも自然なことといえそうです。
--Exoticsphere 2006年2月5日 (日) 10:59 (UTC)
「実数の性質」について[編集]
「実数の性質」のところでちょっと疑問が。「区間(0.999..., 1)に実数は存在しない」ことの証明がどこにも書かれていません。もし「自明だから」という理由で省略されているのだとしたら、元の命題「0.999...と1は異なる2つの実数である」が偽であることも自明であるように思えます。
翻って、元の命題は「元の命題が偽であることが自明だとは思えない人」に対しての証明なのですから、「区間(0.999..., 1)に実数は存在しない」ことは省略せずにきっちりと証明すべきだと思います。--ハルノ アキハ 2006年12月3日 (日) 17:53 (UTC)
- 翻訳当時の英語版の曖昧の記述を引きずってしまっているようです。現在の英語版は秀逸な記事に選ばれているので翻訳依頼を出しておきました。--Makotoy 2006年12月4日 (月) 01:35 (UTC)
0.999...[編集]
英語版の記事 en:0.999... を翻訳しました。新しい記事は（以前この記事へのリダイレクトとなっていた）0.999... にアップしています。この記事のタイトル「0.999...が1に等しいことの証明」が翻訳した記事の内容にそぐわない（0.999...=1 という等式が学習者に受け入れられにくい原因を数学教育的に考察したり、0.999...が1より真に小さくなるような数体系も紹介したりしている）ためです。
新しい記事の内容は、このページの記事の内容をほぼ包括しているため、 0.999...が1に等しいことの証明 を 0.999... へリダイレクトしたいと考えますがいかがでしょうか。ただ、例えば中高生のような読者に対しては、翻訳記事はかなりレベルの高い話になっている気がする（読めないかもしれない）ので躊躇しています。ご意見をお聞かせください。
また、0.999... には翻訳ミスがあるかも知れませんし、記事の体裁も整っていないところがあるかもしれません。お気づきの点はどんどん修正していただければ嬉しく思います。--Tsukapee 2007年1月19日 (金) 16:25 (UTC)
- こちらへのTsukapeeさんの書き込みに気がつかずリダイレクト化してしまいました。今までの経緯からして議論の余地はないだろうと考えていたからですが、何か問題があればここでも僕の利用者会話ページでもご指摘ください。--Makotoy 2007年1月20日 (土) 14:31 (UTC)
- 正直言って多少びっくりしましたが、何の問題もありません。ありがとうございました。--Tsukapee 2007年1月21日 (日) 13:07 (UTC)